高等数学之微积分中不等式的证明方法总结

时间:2022-11-07 00:15 作者:yb体育
本文摘要:不等式的证明题作为微分的应用经常泛起在考研题中。使用函数的单调性证明不等式是不等式证明的基本方法。 有时需要两次甚至三次一连使用该方法,其他方法可作为该方法的增补,辅助函数的结构仍是解决问题的关键。证明方法总结:(1)使用函数单调性证明不等式若在(a,b)上总有f(x)的导数大于零,则函数f(x)在区间(a,b)上单调增加;若在(a,b)上总有f(x)的导数小于零,则函数f(x)在区间(a,b)上单调淘汰。

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不等式的证明题作为微分的应用经常泛起在考研题中。使用函数的单调性证明不等式是不等式证明的基本方法。

有时需要两次甚至三次一连使用该方法,其他方法可作为该方法的增补,辅助函数的结构仍是解决问题的关键。证明方法总结:(1)使用函数单调性证明不等式若在(a,b)上总有f(x)的导数大于零,则函数f(x)在区间(a,b)上单调增加;若在(a,b)上总有f(x)的导数小于零,则函数f(x)在区间(a,b)上单调淘汰。(2)使用拉格朗日中值定理证明不等式对于不等式中含有f(b)-f(a)的因子,可思量用拉格朗日中值定理先处置惩罚一下。

(3)使用函数的最值证明不等式若函数f(x)在闭区间[a,b]上一连,则f(x)在区间[a,b]上存在最大值M和最小值m.(4)使用泰勒公式证明不等式如果要证明的不等式中,含有函数的二阶或二阶以上的导数,一般通过泰勒公式证明不等式。不等式证明的难点也是辅助函数的结构,一般可以通过要证明的不等式分析得出要结构的辅助函数。

题型一:使用函数的单调性证明不等式分析:对要证明的不等式举行如下化简:解:备注:结构适当的辅助函数是解决问题的基础,有时需要两次使用函数的单调性证明不等式,有时需要对区间(a,b)举行支解,划分在小区间上讨论。题型二:使用拉格朗日中值定理证明不等式例2:分析:解:备注:对于不等式中含有f(b)-f(a)的因子,可以思量使用拉格朗日公式先处置惩罚一下。


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